Zuerst kommt die Erklärung, danach 12 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Lineare und quadratische Funktionen kennst du aus der Mittelstufe. Hier wiederholst du sie so, wie die Oberstufe sie braucht. Eine lineare Funktion f(x) = m·x + b hat als Graph eine Gerade; wichtig sind ihre Steigung, ihr y-Achsenabschnitt und die Lage zweier Geraden zueinander. Eine quadratische Funktion hat als Graph eine Parabel; wichtig ist ihr Scheitelpunkt. Er ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel und damit die Antwort auf viele Fragen nach „am höchsten“ oder „am niedrigsten“.
2. Geraden: Steigung und y-Achsenabschnitt
m ist die Steigung: Wächst x um 1, ändert sich y um m. b ist der y-Achsenabschnitt: Die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt (0 | b). Bei m > 0 steigt die Gerade, bei m < 0 fällt sie, bei m = 0 verläuft sie waagerecht.
f(x) = m · x + b (m: Steigung, b: y-Achsenabschnitt)
Sind zwei Punkte P(x1 | y1) und Q(x2 | y2) der Geraden bekannt, ist die Steigung der Differenzenquotient: Änderung der y-Werte geteilt durch Änderung der x-Werte. Das ist das Steigungsdreieck. Den y-Achsenabschnitt erhältst du, indem du einen der beiden Punkte in f(x) = m·x + b einsetzt.
m = y2 − y1x2 − x1 b = y1 − m · x1
Zähler und Nenner in derselben Reihenfolge der Punkte bilden. Wer im Zähler Q − P und im Nenner P − Q rechnet, bekommt das falsche Vorzeichen.
Beispiel: P(2 | 1) und Q(6 | 9)
m = 9 − 16 − 2 = 84 = 2
b = 1 − 2 · 2 = −3
f(x) = 2x − 3
Probe mit dem anderen Punkt: f(6) = 12 − 3 = 9, das stimmt.
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden durch A(−1 | 4) und B(3 | −2).
Lösung zeigen
m = −2 − 43 − (−1) = −64 = −1,5. b = 4 − (−1,5) · (−1) = 2,5. Also f(x) = −1,5x + 2,5. Probe mit B: −1,5 · 3 + 2,5 = −2.
3. Parallel und orthogonal
Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Steigungen gleich sind: m1 = m2. Sind auch die y-Achsenabschnitte gleich, sind die Geraden identisch. Zwei Geraden stehen orthogonal (senkrecht) aufeinander, wenn das Produkt der Steigungen −1 ergibt.
parallel: m1 = m2 orthogonal: m1 · m2 = −1
Idee zur Herleitung: Dreht man eine Ursprungsgerade durch den Punkt (a | b) um 90° um den Ursprung, wird aus (a | b) der Punkt (−b | a). Die Steigung wechselt von ba zu a−b = −ab, das Produkt beider Steigungen ist −1. Steht in der Gleichung ein Parameter a, etwa fa(x) = (a + 1)x − 2, ist a eine feste, noch unbekannte Zahl. Du schreibst die Bedingung (zum Beispiel m1 = m2) mit dem Term der Steigung auf und löst nach a auf.
Beispiel: Gerade durch P(3 | 1), orthogonal zu g(x) = 2x − 1
Steigung: 2 · m = −1 ⇔ m = −0,5
b = 1 − (−0,5) · 3 = 2,5
h(x) = −0,5x + 2,5
✎ Mini-Aufgabe: Welche der Geraden f(x) = 3x + 1, g(x) = −(13)x + 5 und h(x) = 3x − 7 sind parallel, welche orthogonal zueinander?
Lösung zeigen
f und h haben dieselbe Steigung 3, aber verschiedene y-Achsenabschnitte: parallel. f und g: 3 · (−13) = −1, also orthogonal. Aus demselben Grund stehen auch g und h orthogonal aufeinander.
4. Parabeln: die Scheitelpunktform
Eine Parabel wechselt an genau einer Stelle die Richtung: am Scheitelpunkt S(xS | yS). Er liegt auf der Symmetrieachse x = xS, links und rechts davon ist die Parabel spiegelgleich. In der Scheitelpunktform liest du S direkt ab.
f(x) = a · (x − xS)² + yS (Scheitelpunktform)
a > 0: nach oben geöffnet, S ist der tiefste Punkt (Tiefpunkt).
a < 0: nach unten geöffnet, S ist der höchste Punkt (Hochpunkt).
|a| > 1: gestreckt, also schmaler als die Normalparabel y = x². |a| < 1: gestaucht, also breiter.
Für die Breite spielt das Vorzeichen von a keine Rolle: a = 3 und a = −3 sind gleich schmal.
In der Normalform f(x) = ax² + bx + c sieht man S nicht; c ist dort der y-Achsenabschnitt f(0). In der Scheitelpunktform kippt in der Klammer das Vorzeichen, yS steht so da, wie es hinter der Klammer steht.
Beispiel: f(x) = 2(x + 1)² − 3
x + 1 = x − (−1), also xS = −1
yS = −3
S(−1 | −3). a = 2 > 0: Tiefpunkt
✎ Mini-Aufgabe: Lies den Scheitelpunkt von f(x) = −2(x + 3)² + 5 ab. Ist er Hochpunkt oder Tiefpunkt?
Lösung zeigen
x + 3 = x − (−3), also xS = −3. yS = 5. Der Scheitelpunkt ist S(−3 | 5). Wegen a = −2 < 0 ist er ein Hochpunkt.
5. Von der Normalform zur Scheitelpunktform
Ziel: aus f(x) = x² + bx + c die Scheitelpunktform machen. Dazu ergänzt man ein vollständiges Quadrat. Der Term ändert sich nicht, wenn man dieselbe Zahl addiert und gleich wieder subtrahiert. Das ist die quadratische Ergänzung.
Steht vor x² ein Faktor a ≠ 1, klammerst du ihn aus den ersten beiden Termen aus und ergänzt in der Klammer. Die Zahl, die du danach aus der Klammer herausziehst, wird mit a multipliziert. Der Faktor a bleibt vor der Klammer stehen.
6. Verschiebung, Streckung, Spiegelung und Symmetrie
xS verschiebt die Normalparabel y = x² waagerecht: nach rechts bei (x − 3), nach links bei (x + 3).
yS verschiebt sie senkrecht: nach oben bei + 4, nach unten bei − 4.
|a| > 1 streckt die Parabel (enger), |a| < 1 staucht sie (weiter). Bei a < 0 wird sie an der x-Achse gespiegelt, sie ist dann nach unten geöffnet.
Wegen der Symmetrie haben zwei Stellen mit gleichem Abstand links und rechts von xS denselben Funktionswert. Liegen zwei Punkte der Parabel auf gleicher Höhe, liegt xS genau in der Mitte zwischen ihren x-Werten: Bei f(1) = f(7) ist xS = (1 + 7) : 2 = 4.
Oben ist p(x) = 2x + 1 parallel zu f(x) = 2x − 3 (beide Steigung 2), o(x) = −0,5x + 2 steht orthogonal zu f (2 · (−0,5) = −1). In der Mitte die Normalparabel und k(x) = (x − 3)² − 1, unten die Normalparabel und h(x) = −0,5(x − 2)² + 3, jeweils mit Scheitelpunkt und Symmetrieachse.
7. Rückwärts: Gleichung aus Scheitelpunkt und Punkt
Kennst du den Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt, setzt du S in die Scheitelpunktform ein. Nur a fehlt, und das ergibt sich aus dem zweiten Punkt. Bei einer Geraden genügen zwei Punkte (Abschnitt 2).
Beispiel: S(1 | −3) und P(3 | 5)
Ansatz: f(x) = a · (x − 1)² − 3
P einsetzen: 5 = a · (3 − 1)² − 3 = 4a − 3, also a = 2
f(x) = 2(x − 1)² − 3 = 2x² − 4x − 1
✎ Mini-Aufgabe: Eine Parabel hat den Scheitelpunkt S(2 | 1) und verläuft durch P(3 | 4). Wie lautet ihre Gleichung?
Lösung zeigen
Ansatz f(x) = a(x − 2)² + 1. Mit P: 4 = a · 1 + 1, also a = 3. Es ist f(x) = 3(x − 2)² + 1.
8. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
Grundgebühr, Fixkosten, Anfangsbestand, Starthöhe
y-Achsenabschnitt: der Wert bei x = 0
Einheit mitdenken, etwa € oder Meter
je Kilometer, je Stück, pro Tag, gleichmäßig
Steigung m einer Geraden: Änderung je Einheit von x
Bei Abnahme ist m negativ.
Steigung in Prozent
m · 100 %
x und y in derselben Einheit messen
genauso steil, gleiche Neigung
parallel: gleiche Steigung
Der y-Achsenabschnitt darf anders sein.
senkrecht zu, im rechten Winkel
orthogonal: m1 · m2 = −1
Kehrwert und Vorzeichenwechsel
am höchsten, größter Gewinn (a < 0); am niedrigsten, kleinste Kosten (a > 0)
y-Koordinate yS des Scheitelpunkts
Prüfen, ob xS im Bereich liegt, für den das Modell gilt
bei welcher Menge, in welcher Entfernung am größten
x-Koordinate xS des Scheitelpunkts
Die Antwort ist eine Stelle, kein Wert.
wieder in derselben Höhe, gleich hohe Pfosten oder Ränder
Spiegelung an der Symmetrieachse x = xS
xS liegt in der Mitte der beiden Stellen.
breiter, flacher, enger
kleineres oder größeres |a|
Das Vorzeichen von a zählt für die Breite nicht.
9. Was nirgends steht
Ob S ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, steht nicht da. Das Vorzeichen von a entscheidet.
Der Scheitelpunkt liefert den größten oder kleinsten Wert nur, wenn xS im Gültigkeitsbereich liegt. Sonst liegt dieser Wert an einem Rand des Bereichs.
Zwei gleich hohe Ränder oder Pfosten sagen, dass der Scheitelpunkt mittig dazwischen liegt. Das schreibt niemand dazu.
„Gleichmäßig“ heißt: Die Änderung je Einheit ist immer gleich, das Modell ist eine Gerade. Außerhalb des beschriebenen Bereichs sagt es nichts.
Eine Steigung in Prozent bezieht sich auf die waagerechte Entfernung. Stehen Kilometer und Meter nebeneinander, rechnest du erst um.
10. Ein Beispiel mit Denkweg
Beim Kugelstoßen beschreibt h(x) = −0,05x² + 0,4x + 2 die Höhe der Kugel (x: waagerechte Entfernung vom Abstoß in Metern, h(x): Höhe über dem Boden in Metern). Wie hoch fliegt die Kugel, und in welcher Entfernung ist das?
Was ist gefragt? Die größte Höhe und die Entfernung, in der sie erreicht wird. Das sind beide Koordinaten des Scheitelpunkts.
Was steht nicht da? Ob S ein Hochpunkt ist: a = −0,05 < 0, also ja. Und ob xS im Flugbereich liegt: Die Kugel landet erst weiter hinten, das passt.
Antwortsatz In 4 m Entfernung erreicht die Kugel ihre größte Höhe von 2,8 m.
Prüfen h(4) = −0,8 + 1,6 + 2 = 2,8. Die Abstoßhöhe h(0) = 2 m ist kleiner. Das passt.
11. Typische Fehler
Bei m = y2 − y1x2 − x1 die Reihenfolge der Punkte oben und unten vertauschen. Das Vorzeichen ist dann falsch.
Orthogonal mit m1 · m2 = 1 statt −1 prüfen, oder nur das Vorzeichen der Steigung wechseln und den Kehrwert vergessen.
Vorzeichen in der Klammer: (x + 3)² gehört zu xS = −3, nicht zu 3.
Die Ergänzungszahl nur addiert, aber nicht wieder subtrahiert, oder bei a ≠ 1 nicht mit a multipliziert.
Aus dem Vorzeichen von b auf die Öffnung schließen. Es zählt nur a.
Stelle und Wert verwechseln: xS ist keine Höhe, yS ist keine Entfernung.
Rechnen
2.1Drei Punkte
Gegeben sind die Punkte A(−2 | −3), B(1 | 3) und C(4 | 9).
a) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden f durch A und B.
Hilfe 1
Wie bestimme die Steigung aus A und B?
Hilfe 2
Wie findest du den y-Achsenabschnitt?
b) Zeige, dass auch C auf der Geraden f liegt.
Hilfe 1
Was muss für die Koordinaten eines Punktes gelten, damit er auf einer Geraden liegt?
Hilfe 2
Welcher y-Wert gehört zur x-Koordinate von C?
Lösung zeigen
a) Zwei Punkte legen eine Gerade fest: Steigung, y-Achsenabschnitt, Probe.
m = 3 − (−3)1 − (−2) = 63 = 2
3 = 2 · 1 + b ⇔ b = 1
f(x) = 2x + 1. Probe mit A: 2 · (−2) + 1 = −3.
b) „Zeige, dass ein Punkt auf der Geraden liegt“: Koordinaten einsetzen und die Aussage prüfen.
f(4) = 2 · 4 + 1 = 9. Das ist die y-Koordinate von C, also liegt C auf f.
Gleichwertig: Die Steigung von B nach C ist 9 − 34 − 1 = 2 und stimmt mit der Steigung von f überein.
2.2Drei Geraden
Gegeben sind f(x) = 0,8x − 2, g(x) = −1,25x + 3 und h(x) = 0,8x + 3.
a) Untersuche, wie f und g zueinander liegen. Begründe dein Ergebnis rechnerisch.
Hilfe 1
Welche Größe entscheidet über die Lage zweier Geraden?
Hilfe 2
Welche Rechnung mit beiden Steigungen zeigt Orthogonalität?
b) Untersuche, wie f und h zueinander liegen. Begründe dein Ergebnis rechnerisch.
Hilfe 1
Was sagen gleiche Steigungen über die Lage aus?
Hilfe 2
Was entscheidet, ob die Geraden dann zusammenfallen?
Lösung zeigen
a) „Lage zweier Geraden“ heißt: Steigungen vergleichen, bei verschiedenen Steigungen auf orthogonal prüfen.
0,8 ≠ −1,25: nicht parallel.
0,8 · (−1,25) = −1: f und g stehen orthogonal aufeinander.
b) Gleiche Steigung: parallel oder identisch. Der y-Achsenabschnitt entscheidet.
Beide haben die Steigung 0,8, die y-Achsenabschnitte −2 und 3 sind verschieden: f und h sind parallel und nicht identisch.
2.3Gerade durch einen Punkt
Gegeben sind die Gerade g mit g(x) = −0,5x + 3 und der Punkt P(2 | −1).
Bestimme die Gleichung der Geraden h, die durch P verläuft und orthogonal zu g ist.
Hilfe 1
Welche Steigung hat eine Gerade, die orthogonal zu g steht?
Hilfe 2
Wie bringst du den Punkt P ins Spiel?
Lösung zeigen
Orthogonal liefert die Steigung, der Punkt P den y-Achsenabschnitt.
−0,5 · m = −1 ⇔ m = 2
−1 = 2 · 2 + b ⇔ b = −5
h(x) = 2x − 5. Probe mit P: 2 · 2 − 5 = −1.
2.4Scheitelpunktform
Bestimme die Scheitelpunktform und den Scheitelpunkt. Gib bei (3) und (4) auch an, ob der Scheitelpunkt Hochpunkt oder Tiefpunkt ist. (1) f(x) = x² − 6x + 4 (2) f(x) = x² + 5x + 1 (3) f(x) = 2x² − 12x + 7 (4) f(x) = −x² + 8x − 10
Hilfe 1
Welche Zahl macht x² − 6x zu einem vollständigen Quadrat? Wie hängt sie mit der Zahl vor x zusammen?
Hilfe 2
Wenn du eine Zahl dazu nimmst: Was musst du tun, damit sich der Term nicht ändert?
Hilfe 3
Bei (3) und (4) steht vor x² nicht 1. Was geschieht mit diesem Faktor zuerst, und womit wird die herausgezogene Zahl multipliziert?
Lösung zeigen
Normalform in Scheitelpunktform: Das Ziel steht in der Aufgabe, der Weg nicht. Ab (3) mit Faktor vor x².
a) Die Funktion f mit f(x) = −2x² + 12x − 13 hat die Scheitelpunktform f(x) = −2(x − 3)² + 5. Beschreibe, wie der Graph von f aus der Normalparabel y = x² entsteht.
Hilfe 1
Was bewirken xS und yS, was bewirkt der Faktor vor der Klammer?
Hilfe 2
Was sagt das Vorzeichen des Faktors über die Öffnung?
b) Berechne f(1) und gib an, an welcher anderen Stelle der Graph von f denselben Funktionswert hat.
Hilfe 1
Was weißt du über zwei Stellen gleicher Höhe bei einer Parabel, und wie hängen sie mit xS zusammen?
Hilfe 2
Wie weit liegt x = 1 von dieser Geraden entfernt, und wo liegt der Punkt auf der anderen Seite?
Lösung zeigen
a) Scheitelpunktform gegeben, Beschreibung gefragt: xS, yS und a einzeln deuten.
Die Normalparabel wird um 3 nach rechts und um 5 nach oben verschoben. Wegen |a| = 2 ist sie mit dem Faktor 2 gestreckt (enger), wegen a < 0 an der x-Achse gespiegelt, also nach unten geöffnet. Scheitelpunkt S(3 | 5).
b) Der zweite Punkt gleicher Höhe: Spiegelung an der Symmetrieachse x = xS.
f(1) = −2 + 12 − 13 = −3
Die Symmetrieachse ist x = 3. x = 1 liegt 2 links davon, also hat auch x = 5 den Wert −3, der Punkt (5 | −3). Probe: f(5) = −50 + 60 − 13 = −3.
Ohne Taschenrechner
2.6Parabel und Gerade im Bild
Das Material zeigt den Graphen einer quadratischen Funktion f und den Graphen einer linearen Funktion g.
Material
a) Bestimme anhand des Materials die Funktionsgleichung von f in Scheitelpunktform.
Hilfe 1
Welche Punkte kannst du am Graphen sicher ablesen?
Hilfe 2
Welcher Punkt ist besonders leicht ablesbar, und welcher liefert dir den Faktor?
b) Bestimme anhand des Materials die Funktionsgleichung von g.
Hilfe 1
Welche zwei Punkte der Geraden liegen genau auf Gitterpunkten?
c) Die Gerade h ist orthogonal zu g und verläuft durch den Scheitelpunkt von f. Bestimme die Gleichung von h.
Hilfe 1
Welche Steigung gehört zu einer Geraden, die orthogonal zu g ist?
Hilfe 2
Welchen Punkt kennst du von h?
Lösung zeigen
a) Funktionsgleichung am Graphen: Scheitelpunkt und einen weiteren Gitterpunkt ablesen.
Scheitelpunkt S(−1 | −2). Ein weiterer Gitterpunkt: P(3 | 6).
Ansatz f(x) = a(x + 1)² − 2. Mit P: 6 = a · 16 − 2, also a = 0,5.
f(x) = 0,5(x + 1)² − 2. Auch der Punkt (1 | 0) führt auf a = 0,5.
b) Gerade im Bild: zwei genau ablesbare Punkte, dann wie bei zwei gegebenen Punkten.
Ablesbare Punkte: (0 | 1) und (2 | 2). m = 2 − 12 − 0 = 0,5, der y-Achsenabschnitt ist 1.
g(x) = 0,5x + 1
c) Steigung aus der Orthogonalität, y-Achsenabschnitt mit dem Scheitelpunkt aus a).
0,5 · m = −1 ⇔ m = −2
−2 = −2 · (−1) + b ⇔ b = −4
h(x) = −2x − 4
2.7Parabel gesucht
a) Der Graph einer quadratischen Funktion hat den Scheitelpunkt S(−2 | 5) und verläuft durch den Punkt P(0 | −3). Bestimme die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform.
Hilfe 1
Welche Zahl in der Scheitelpunktform ist noch nicht bekannt?
Hilfe 2
Welcher Punkt liefert eine Gleichung für diese Zahl?
b) Gib die Funktionsgleichung in Normalform an.
Hilfe 1
Wie multiplizierst du die Klammer aus?
Lösung zeigen
a) Scheitelpunkt und ein Punkt gegeben: Die fehlende Zahl ist a.
Für jede reelle Zahl a ist eine Gerade fa gegeben durch fa(x) = (2a + 1)x − 3. Außerdem ist g(x) = 5x + 2 gegeben.
a) Bestimme a so, dass fa parallel zu g ist.
Hilfe 1
Welche Bedingung gilt für die Steigungen paralleler Geraden?
b) Bestimme a so, dass fa orthogonal zu g ist.
Hilfe 1
Welche Bedingung gilt für die Steigungen orthogonaler Geraden?
c) Für jede reelle Zahl c ist außerdem pc(x) = x² + 6x + c gegeben. Bestimme c so, dass der Scheitelpunkt der Parabel zu pc auf der x-Achse liegt.
Hilfe 1
Welche Koordinate hat ein Punkt auf der x-Achse?
Hilfe 2
Wie ergänzt du x² + 6x, wenn c noch unbekannt ist?
Lösung zeigen
a) Parameter gesucht: die Bedingung für die Lage zweier Geraden mit dem Term der Steigung ansetzen.
2a + 1 = 5 ⇔ a = 2
b) Wie a), aber mit der Bedingung für orthogonale Geraden.
(2a + 1) · 5 = −1 ⇔ 2a + 1 = −0,2 ⇔ a = −0,6
c) Parameter in der Normalform: Scheitelpunkt mit c bestimmen, dann yS = 0 setzen.
pc(x) = x² + 6x + 9 − 9 + c = (x + 3)² + (c − 9). Der Scheitelpunkt ist S(−3 | c − 9).
S liegt auf der x-Achse, wenn c − 9 = 0, also c = 9.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) s(t) beschreibt die Strecke einer Läuferin, die gleichmäßig läuft, in Metern; t ist die Zeit in Sekunden. Wie schnell läuft sie? (2) Die Höhe h(t) einer Feuerwerksrakete wird durch eine quadratische Funktion beschrieben (t in Sekunden nach dem Start, h(t) in Metern). Wie hoch steigt die Rakete? (3) Ein Kind wirft einen Ball aus 1,5 m Höhe ab. Seine Höhe über dem Boden wird durch eine quadratische Funktion b beschrieben (x: waagerechte Entfernung vom Abwurf in Metern). In welcher Entfernung ist der Ball wieder in 1,5 m Höhe?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Wird nach einer Änderung je Einheit, nach einer Stelle oder nach einem Wert gefragt?
Hilfe 2
Welcher besondere Punkt einer Parabel gehört zu „am höchsten“?
Hilfe 3
Bei (3): Welche Eigenschaft hat die Parabel links und rechts von diesem Punkt?
b) Eine Kerzenmanufaktur stellt Duftkerzen her. Die Stückkosten k(x) in Euro je Kerze hängen von der Tagesproduktion x in Hundert Stück ab und werden im Modell durch k(x) = 0,5x² − 6x + 25 beschrieben (1 ≤ x ≤ 12). Bei welcher Tagesproduktion sind die Stückkosten am niedrigsten, und wie hoch sind sie dann? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist die … und der … von k. 2. Was nicht dasteht: Die Parabel ist nach … geöffnet, also ist der Scheitelpunkt ein … . Seine x-Koordinate muss im Bereich … liegen. 3. Rechnen: k(x) = 0,5 · (x² − … x) + 25 = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Wird nach einer Stelle, einem Wert oder nach beidem gefragt?
Hilfe 2
Was sagt das Vorzeichen von 0,5 über den Scheitelpunkt?
Hilfe 3
Liegt die x-Koordinate im Bereich 1 ≤ x ≤ 12?
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Objekte: Steigung einer Geraden, y-Koordinate des Scheitelpunkts, Spiegelung an der Symmetrieachse.
(1) Gesucht ist die Steigung von s (Meter je Sekunde). Ansatz: Differenzenquotient aus zwei Wertepaaren.
(2) Gesucht ist der größte Wert von h, also yS des Hochpunkts. Ansatz: h in Scheitelpunktform bringen und yS ablesen.
(3) Gesucht ist die zweite Stelle mit b(x) = b(0). Ansatz: Scheitelpunkt bestimmen und den Abwurfpunkt an der Symmetrieachse x = xS spiegeln, also x = 2 · xS.
b) „am niedrigsten“ heißt Tiefpunkt: x-Koordinate und y-Koordinate. Die Prüfung des Bereichs steht nicht da.
1. Gefragt ist die Stelle und der Wert des kleinsten Wertes von k, also beide Koordinaten des Scheitelpunkts.
2. Wegen a = 0,5 > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet, der Scheitelpunkt ist ein Tiefpunkt. Seine x-Koordinate muss im Bereich 1 ≤ x ≤ 12 liegen.
4. Bei einer Tagesproduktion von 600 Kerzen sind die Stückkosten mit 7 € je Kerze am niedrigsten.
5. k(6) = 0,5 · 36 − 36 + 25 = 7. Die Kosten steigen zu beiden Seiten, k(1) = 19,5 und k(12) = 25. Das passt.
3.2Passstraße
Eine Passstraße beginnt in einem Dorf auf 412 m über dem Meer und steigt gleichmäßig bis zu einer Kehre auf 583 m über dem Meer. Die Kehre liegt waagerecht gemessen 2,35 km vom Dorf entfernt. Im Modell ist x die waagerechte Entfernung vom Dorf in Metern und h(x) die Höhe über dem Meer in Metern (0 ≤ x ≤ 2350).
a) Bestimme die Funktionsgleichung von h und gib die Steigung der Straße in Prozent an.
Hilfe 1
Welche zwei Punkte der Geraden kennst du? Achte auf die Einheiten.
Hilfe 2
Wie hängen die Steigung m und die Angabe in Prozent zusammen?
b) Ein Wanderparkplatz liegt an der Straße, waagerecht gemessen 1,45 km vom Dorf entfernt. Berechne seine Höhe über dem Meer.
Hilfe 1
Welcher x-Wert gehört zum Parkplatz?
c) Hinter der Kehre steigt die Straße gleichmäßig mit 9 % weiter bis zur Passhöhe auf 862 m über dem Meer. Bestimme, wie weit die Passhöhe waagerecht von der Kehre entfernt ist.
Hilfe 1
Welche Steigung m gehört zu 9 %?
Hilfe 2
Wie viel Höhe muss die Straße in diesem Abschnitt gewinnen?
Hilfe 3
Was bedeutet die Steigung im Steigungsdreieck?
d) Auf einem Schild am Dorf steht: „Bis zur Passhöhe durchschnittlich 9 % Steigung.“ Beurteile diese Angabe.
Hilfe 1
Welche Gerade beschreibt einen gleichmäßigen Anstieg vom Dorf direkt bis zur Passhöhe?
Hilfe 2
Wie groß sind Höhenunterschied und waagerechte Entfernung vom Dorf bis zur Passhöhe?
Lösung zeigen
a) „steigt gleichmäßig“: eine Gerade durch Dorf und Kehre. Kilometer erst in Meter umrechnen.
Punkte (0 | 412) und (2350 | 583): m = 583 − 4122350 − 0 = 1712350 ≈ 0,0728
h(x) ≈ 0,0728x + 412
Die Straße steigt um etwa 7,3 %: Auf 100 m waagerecht gewinnt sie rund 7,3 m an Höhe.
b) Funktionswert an einer gegebenen Stelle, Einheit beachten.
h(1450) ≈ 0,0728 · 1450 + 412 ≈ 517,5
Der Parkplatz liegt etwa 518 m über dem Meer.
c) Steigung und Höhenunterschied bekannt, gesucht ist die waagerechte Seite des Steigungsdreiecks.
m = 0,09; Höhenunterschied 862 − 583 = 279
0,09 · Δx = 279 ⇔ Δx = 3100
Die Passhöhe liegt waagerecht 3 100 m, also 3,1 km, hinter der Kehre.
d) „durchschnittlich“ heißt: Steigung der Geraden vom Dorf bis zur Passhöhe, nicht die Steigung des letzten Abschnitts.
Vom Dorf bis zur Passhöhe: Höhenunterschied 862 − 412 = 450, waagerecht 2350 + 3100 = 5450.
4505450 ≈ 0,083, also durchschnittlich etwa 8,3 %.
Die Angabe ist zu hoch. 9 % gelten nur für den Abschnitt hinter der Kehre, der erste Abschnitt ist mit etwa 7,3 % flacher.
3.3Wäscheleine
Eine Wäscheleine ist zwischen zwei gleich hohen Pfosten gespannt, die 4 m auseinander stehen. An beiden Pfosten ist sie in 2,0 m Höhe befestigt, in der Mitte hängt sie bis auf 1,2 m über dem Boden durch. Im Modell verläuft die Leine nach einer Parabel: x ist die waagerechte Entfernung vom linken Pfosten in Metern, f(x) die Höhe der Leine über dem Boden in Metern (0 ≤ x ≤ 4). Das Gewicht der Wäsche bleibt unberücksichtigt.
a) Bestimme eine Funktionsgleichung für f.
Hilfe 1
Wo liegt der tiefste Punkt der Leine, wenn beide Pfosten gleich hoch sind?
Hilfe 2
Welche Form der Funktionsgleichung passt, wenn der tiefste Punkt bekannt ist?
Hilfe 3
Welcher weitere Punkt liefert die fehlende Zahl?
b) Ein Schal ist 1,70 m lang. Er wird mit einem Ende 0,5 m vom linken Pfosten entfernt an die Leine geklammert und hängt senkrecht nach unten. Beurteile, ob er den Boden berührt.
Hilfe 1
Wie hoch hängt die Leine an dieser Stelle?
Hilfe 2
Was vergleichst du mit der Länge des Schals?
c) Die Leine wird straffer gespannt. Sie ist an den Pfosten weiterhin in 2,0 m Höhe befestigt, hängt in der Mitte aber nur noch bis auf 1,6 m durch. Bestimme die Funktionsgleichung g der straffen Leine und beschreibe, wie sich der Graph von g vom Graphen von f unterscheidet.
Hilfe 1
Was ändert sich am Scheitelpunkt, was bleibt gleich?
Hilfe 2
Welcher Punkt liefert wieder die fehlende Zahl?
Hilfe 3
Was bedeutet ein kleineres |a| für die Form der Parabel?
Lösung zeigen
a) Gleich hohe Pfosten: Der Scheitelpunkt liegt in der Mitte. Das steht nirgends.
Beide Pfosten sind gleich hoch, deshalb liegt der tiefste Punkt in der Mitte: S(2 | 1,2).
Ansatz: f(x) = a(x − 2)² + 1,2. Der linke Befestigungspunkt (0 | 2) liefert 2 = 4a + 1,2, also a = 0,2.
f(x) = 0,2(x − 2)² + 1,2
b) Funktionswert an der Stelle 0,5 mit der Länge des Schals vergleichen.
f(0,5) = 0,2 · 1,5² + 1,2 = 0,45 + 1,2 = 1,65. Die Leine hängt dort 1,65 m hoch.
Der Schal ist 1,70 m lang, also 5 cm länger. Er berührt den Boden.
c) Gleicher Weg wie in a), dann zwei Parabeln über Scheitelpunkt und a vergleichen.
Die Symmetrieachse x = 2 bleibt. Der Scheitelpunkt liegt 0,4 m höher, und wegen 0,1 < 0,2 ist die Parabel stärker gestaucht, also flacher: Die Leine hängt weniger durch.
3.4Delfinsprung
Ein Delfin springt aus dem Wasser. Seine Sprungbahn beschreibt d(x) = −0,15x² + 1,2x (x: waagerechte Entfernung vom Absprung in m, d(x): Höhe über der Wasseroberfläche in m). Ein zweiter Delfin springt nach e(x) = −0,3x² + 2,4x. Das Material zeigt beide Sprungbahnen.
Material
a) Begründe im Sachzusammenhang, warum der Faktor vor x² in d(x) negativ sein muss, und deute d(0).
Hilfe 1
Wie verläuft die Bahn eines Sprungs: erst steigend, dann fallend?
Hilfe 2
Zu welcher Öffnung gehört das?
Hilfe 3
Welche Stelle gehört zu x = 0?
b) Bestimme die Scheitelpunktform von d. Gib an, wie hoch der Delfin höchstens springt und wie weit vom Absprung entfernt er wieder eintaucht.
Hilfe 1
Klammere −0,15 aus den ersten beiden Termen aus.
Hilfe 2
Wie hoch liegt die Wasseroberfläche, und welcher Punkt der Bahn liegt deshalb in gleicher Höhe wie der Absprung?
Hilfe 3
Was ist die Eintauchstelle im Verhältnis zum Absprung und zur Symmetrieachse?
c) Beschreibe anhand des Materials, wie sich der Sprung des zweiten Delfins von dem des ersten unterscheidet, und bestätige deine Beschreibung durch eine Rechnung.
Hilfe 1
Wo beginnen und enden beide Bahnen, wo liegen ihre höchsten Punkte?
Hilfe 2
Wie hängt e(x) mit d(x) zusammen?
Lösung zeigen
a) Der Sprung hat einen höchsten Punkt, also nach unten geöffnet. d(0) ist die Höhe beim Absprung.
a = −0,15 < 0: nach unten geöffnet. Die Bahn hat einen höchsten Punkt, wie ein Sprung: erst hinauf, dann hinab.
d(0) = 0: Der Delfin springt auf der Höhe der Wasseroberfläche ab.
b) Höchste Höhe: yS. Das Eintauchen liegt in gleicher Höhe wie der Absprung, also an seinem Spiegelpunkt.
Der Absprung (0 | 0) wird an x = 4 gespiegelt: Eintauchstelle x = 8. Kontrolle: d(8) = −9,6 + 9,6 = 0.
Der Delfin springt höchstens 2,4 m hoch und taucht 8 m vom Absprung entfernt wieder ein.
c) Vergleich zweier Parabeln: Weite und höchste Höhe ablesen, dann mit der Scheitelpunktform bestätigen.
Im Material beginnen und enden beide Bahnen an denselben Stellen x = 0 und x = 8, der zweite Delfin springt aber etwa doppelt so hoch.
Rechnung: e(x) = 2 · d(x) = −0,3(x − 4)² + 4,8. Gleiche Symmetrieachse x = 4, also gleiche Eintauchstelle x = 8; höchste Höhe 4,8 m, das Doppelte von 2,4 m.
Klausuraufgabe
4.1Unterführung
Ein Radweg führt durch eine Unterführung unter einer Landstraße. Die Öffnung der Unterführung ist im Modell parabelförmig: Sie ist am Boden 6 m breit und in der Mitte 4,5 m hoch. Im Modell ist x die waagerechte Entfernung vom linken Fußpunkt des Bogens in Metern und p(x) die Höhe des Bogens über dem Boden in Metern (0 ≤ x ≤ 6). Die Abbildung zeigt den Bogen.
Abbildung
a) Bestimme eine Funktionsgleichung von p in Scheitelpunktform und zeige, dass in Normalform p(x) = −0,5x² + 3x gilt.4 BE
Hilfe 1
Wo liegt der höchste Punkt des Bogens?
Hilfe 2
Welcher Punkt des Bogens ist außerdem bekannt?
Hilfe 3
Wie bringst du die Scheitelpunktform in die Normalform?
b) Eine Kehrmaschine des Bauhofs ist 2,0 m breit und 3,6 m hoch. Sie fährt genau in der Mitte durch die Unterführung. Untersuche, ob sie hindurchpasst.3 BE
Hilfe 1
An welcher Stelle der Maschine wird es zuerst eng: in der Mitte oder an den Kanten?
Hilfe 2
An welchen x-Werten liegen die oberen Kanten der Maschine?
Hilfe 3
Warum genügt es, eine der beiden Kanten zu prüfen?
c) Für eine zweite Unterführung ist ein Bogen geplant, der ebenfalls 4,5 m hoch, am Boden aber 8 m breit ist. Begründe ohne Rechnung, ob der Betrag des Faktors a bei diesem Bogen größer oder kleiner ist als bei p. Bestimme a anschließend.3 BE
Hilfe 1
Was bedeutet „breiter bei gleicher Höhe“ für die Form der Parabel?
Hilfe 2
Welche Punkte des zweiten Bogens kennst du?
d) In den Planungsunterlagen steht ohne weitere Erklärung: p(1) = 2,5; 6 − 1 = 5; p(5) = 2,5 Formuliere eine Frage zur Unterführung, die mit dieser Rechnung beantwortet wird, und erläutere die Schritte der Rechnung mithilfe der Abbildung.3 BE
Hilfe 1
Was bedeutet p(1) in der Sache?
Hilfe 2
Warum wird 1 von 6 abgezogen? Denke an die beiden Fußpunkte.
Hilfe 3
Wozu dient die letzte Rechnung?
Lösung zeigen
a) Maße in Punkte übersetzen: Scheitelpunkt in der Mitte, Fußpunkte am Boden. Dann wie beim Rückwärtsrechnen.
Der höchste Punkt liegt in der Mitte: S(3 | 4,5). Ansatz: p(x) = a(x − 3)² + 4,5.
Der linke Fußpunkt (0 | 0) liefert 0 = 9a + 4,5, also a = −0,5. Also p(x) = −0,5(x − 3)² + 4,5.
b) Nicht die Mitte entscheidet, sondern die oberen Kanten. Wegen der Symmetrie sind beide Kanten gleich gut oder gleich knapp.
Die Maschine reicht von x = 2 bis x = 4. Ihre oberen Kanten liegen bei x = 2 und x = 4, symmetrisch zur Achse x = 3.
p(2) = −0,5 · 4 + 6 = 4, wegen der Symmetrie auch p(4) = 4.
Der Bogen ist an den Kanten 4 m hoch, die Maschine 3,6 m. Sie passt hindurch, an den Kanten bleiben 40 cm Platz.
c) Breite der Parabel und |a| hängen zusammen: Erst begründen, dann wie in a) rechnen.
Bei gleicher Höhe ist der zweite Bogen breiter, die Parabel also stärker gestaucht. Deshalb ist |a| kleiner als 0,5.
S(4 | 4,5) und (0 | 0): 0 = 16a + 4,5, also a = −0,28125 ≈ −0,28. Tatsächlich ist 0,28 < 0,5.
d) Eine fertige Rechnung deuten: Frage finden, jeden Schritt in der Sache erklären, die Symmetrie als Beleg nutzen.
Frage: An welcher zweiten Stelle ist der Bogen genauso hoch wie 1 m vom linken Fußpunkt entfernt, etwa um eine Lampe gegenüber aufzuhängen?
p(1) = 2,5: Einen Meter vom linken Fußpunkt ist der Bogen 2,5 m hoch.
6 − 1 = 5: Der Bogen ist symmetrisch zu x = 3. Die gesuchte Stelle liegt 1 m vom rechten Fußpunkt (x = 6) entfernt, also bei x = 5. p(5) = 2,5 bestätigt, dass der Bogen dort ebenfalls 2,5 m hoch ist; in der Abbildung liegen beide Punkte auf gleicher Höhe.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum E1-Kurs, in den Abschnitt „Funktionen aus der Mittelstufe“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.