Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Eine Funktion ist eine Zuordnung mit einer festen Regel: Jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet. Mit diesem Wort „genau ein“ unterscheidest du in der Aufgabe, was eine Funktion ist und was nicht. Dazu kommen drei Begriffe, die oft vermischt werden: der Funktionsterm (der Rechenausdruck), die Funktionsgleichung (Name, Variable und Term zusammen) und der Graph (alle Punkte (x | f(x)) im Koordinatensystem). Zwei Mengen gehören zu jeder Funktion: die Definitionsmenge D, also die x-Werte, die du einsetzen darfst, und die Wertemenge W, also die y-Werte, die wirklich herauskommen.
2. Funktion oder nicht
Eine Zuordnung ist eine Funktion, wenn von jedem x-Wert genau ein Pfeil zu einem y-Wert ausgeht. Dass zwei verschiedene x-Werte denselben y-Wert haben, ist erlaubt. Dass ein x-Wert zwei y-Werte hat, ist verboten. Am Graphen prüfst du das mit dem Senkrechtentest: Jede senkrechte Gerade darf den Graphen höchstens einmal schneiden.
1 ↦ 3, 2 ↦ 5, 3 ↦ 8 Funktion 9 ↦ 3 und 9 ↦ −3 keine Funktion
✎ Mini-Aufgabe: Ist die Zuordnung 1 ↦ 3, 2 ↦ 5, 3 ↦ 3, 4 ↦ 8 eine Funktion? Und die Zuordnung „jeder Zahl ihre Quadratwurzeln“ (zur Zahl 9 also 3 und −3)?
Lösung zeigen
Die erste ist eine Funktion: Jede Zahl hat genau einen Wert, dass 1 und 3 beide auf 3 zeigen, stört nicht. Die zweite ist keine Funktion: Zur Zahl 9 gehören zwei Werte, 3 und −3.
In f(x) = 2x + 1 ist 2x + 1 der Funktionsterm und die ganze Zeile die Funktionsgleichung. Gleichwertig schreibt man f: x ↦ 2x + 1. Der Funktionswert f(3) ist der Wert, den die Funktion an der Stelle 3 hat. Du erhältst ihn, indem du 3 für x einsetzt. Der Punkt (3 | f(3)) liegt dann auf dem Graphen.
Beispiel: f(x) = 2x + 1
f(3) = 2 · 3 + 1 = 7, der Punkt (3 | 7) liegt auf dem Graphen.
Liegt (5 | 10) auf dem Graphen? f(5) = 11, nicht 10: nein.
✎ Mini-Aufgabe: Nenne in f(x) = x² − 4 den Funktionsterm und berechne den Funktionswert an der Stelle 3.
Lösung zeigen
Der Funktionsterm ist x² − 4. f(3) = 3² − 4 = 5.
4. Definitionsmenge
Die Definitionsmenge D enthält alle x-Werte, die du einsetzen darfst. Ohne weitere Angabe sind das alle reellen Zahlen, außer es gibt ein Verbot:
Im Nenner eines Bruchs darf nicht null stehen. Löse Nenner = 0 und schließe diese x-Werte aus.
Unter einer Wurzel darf keine negative Zahl stehen. Fordere Radikand ≥ 0 und löse die Ungleichung.
Ein Term aus Summen, Produkten und Potenzen von x (zum Beispiel 3x² − 5x + 1) hat kein Verbot: D = ℝ.
Beispiele
f(x) = 1x − 2: x − 2 = 0 ⇔ x = 2, also D = ℝ \ {2}
g(x) = √(x − 3): x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3, also D = [3; ∞)
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme die Definitionsmenge von f(x) = 1x + 4 und von g(x) = √(x − 1).
Lösung zeigen
f: x + 4 = 0 ⇔ x = −4, also D = ℝ \ {−4}. g: x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1, also D = [1; ∞).
5. Wertemenge und Schreibweisen
Die Wertemenge W enthält alle y-Werte, die als Funktionswerte wirklich vorkommen. Du findest sie am Graphen (tiefster und höchster Wert, soweit es sie gibt) oder mit einer Überlegung zum Term: x² ist nie negativ, also hat f(x) = x² + 2 nur Werte ab 2.
{ x | x ≥ 2 } = [2; ∞) { x | x < 5 } = (−∞; 5) { x | 1 ≤ x ≤ 4 } = [1; 4] ℝ \ {0} = (−∞; 0) ∪ (0; ∞) W = {2; 5; 7} (genau diese drei Werte)
Eckige Klammer heißt: Der Randwert gehört dazu. Runde Klammer heißt: Er gehört nicht dazu. Bei ∞ steht immer eine runde Klammer.
✎ Mini-Aufgabe: Gib die Wertemenge von f(x) = x² − 1 (mit D = ℝ) in Intervallschreibweise an.
Lösung zeigen
x² ist nie negativ, der kleinste Wert von x² − 1 ist −1 (bei x = 0), nach oben gibt es keine Grenze. W = [−1; ∞).
6. Wertetabelle und Graph
Wähle einige x-Werte, berechne zu jedem f(x), trage die Punkte (x | f(x)) ein und verbinde sie. Für f(x) = x² − 2 mit x von −2 bis 2:
x: −2 −1 0 1 2 f(x): 2 −1 −2 −1 2
✎ Mini-Aufgabe: Erstelle eine Wertetabelle für f(x) = 2x − 1 mit x = −1; 0; 1; 2 und nenne einen Punkt des Graphen.
Lösung zeigen
x: −1; 0; 1; 2 gehört zu f(x): −3; −1; 1; 3. Ein Punkt des Graphen ist zum Beispiel (2 | 3).
Oben f(x) = x² − 2 mit den Punkten der Tabelle, darunter x², x³, 1x und √x. Nur 1x hat eine Definitionslücke; x² und √x haben nur Werte ab 0.
7. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
Welcher Wert gehört zu x = 4? Wie viel kostet es bei …?
Funktionswert f(4), einsetzen
Die Zahl kommt für x, nicht für f(x).
Wann, bei welchem x, nach wie vielen … ist der Wert …?
Gleichung f(x) = Wert, nach x lösen
Die Antwort ist ein x-Wert.
Prüfe, ob der Punkt P auf dem Graphen liegt.
Funktionswert an der Stelle von P mit dem y-Wert von P vergleichen
Auch die Reihenfolge (x | y) beachten.
im Sachzusammenhang sinnvoll
Definitions- oder Wertemenge aus der Situation, nicht nur aus dem Term
Der Term erlaubt oft mehr, als die Situation zulässt.
Welche Werte kommen vor? Welche Preise sind möglich?
Wertemenge
Zuerst klären, welche x überhaupt vorkommen.
Ordnet jedem … genau ein … zu
Prüfung auf Funktion: Hat jedes x nur einen Wert?
Die Gegenrichtung ist eine andere Zuordnung.
bis einschließlich, über, mindestens, höchstens
Randwert gehört dazu oder nicht
Eckige oder runde Klammer.
8. Was nirgends steht
Die Situation begrenzt die Definitionsmenge: Zeiten, Mengen und Längen sind nicht negativ, und es gibt oft eine Obergrenze.
Die Wertemenge hängt von der Definitionsmenge ab. Dieselbe Funktion hat bei kleinerem D oft ein kleineres W.
Die Umkehrung einer Funktion ist nicht automatisch eine Funktion. Mehrere x mit gleichem y machen die Gegenrichtung mehrdeutig.
Bei einem Graphen aus einem Bild gilt nur, was im Bild liegt. Lies so genau ab, wie das Bild es hergibt; Werte zwischen zwei Gitterlinien schätzt du, und jede Aufgabe lässt dafür einen kleinen Spielraum.
9. Ein Sachbeispiel mit Denkweg
Ein Verleih für E-Scooter berechnet 1,00 € Startgebühr und 0,25 € je Minute. Eine Fahrt dauert höchstens 45 Minuten. K(t) = 1 + 0,25t ist der Preis in Euro nach t Minuten Fahrzeit. Gefragt: Welche Zeiten und welche Preise kommen vor, und wie lange kann man für 7,50 € fahren?
Was ist gefragt? Die Definitions- und die Wertemenge von K im Sachzusammenhang und die Fahrzeit, bei der der Preis 7,50 € beträgt.
Was steht nicht da? Die Zeit kann nicht negativ sein, und die Fahrt endet nach 45 Minuten. Also gilt 0 ≤ t ≤ 45. Der Preis liegt zwischen dem Wert am Anfang und dem Wert am Ende.
Rechnen K(0) = 1,00 und K(45) = 1 + 0,25 · 45 = 12,25, also D = [0; 45] und W = [1; 12,25]. Für den Preis 7,50 €: 1 + 0,25t = 7,5 ⇔ 0,25t = 6,5 ⇔ t = 26.
Antwortsatz Für 7,50 € kann man 26 Minuten fahren. Es kommen Zeiten von 0 bis 45 Minuten und Preise von 1,00 € bis 12,25 € vor.
Prüfen K(26) = 1 + 6,5 = 7,5. 26 liegt in [0; 45] und 7,5 in [1; 12,25]. Das passt.
10. Typische Fehler
„√(3 − x) ist für x ≥ 3 definiert“: Beim Umstellen von 3 − x ≥ 0 dreht sich das Zeichen, wenn du durch −1 teilst.
Eine Stelle ausschließen, die gar nicht verboten ist, etwa bei 1x² + 4: Prüfe, ob der Nenner überhaupt null werden kann.
f(3) berechnen, obwohl 3 nicht in D liegt, oder den Punkt (3 | f(3)) mit f(3) verwechseln.
W aus dem Term lesen, obwohl D eingeschränkt ist (zum Beispiel D = [−1; 3] bei x² − 4).
Bei einer Staffel den Randwert falsch zuordnen: „bis einschließlich 5 kg“ gehört noch zur unteren Stufe.
Rechnen
2.1Funktion oder nicht
a) Jeder Zahl aus {1; 2; 3; 4} wird zugeordnet: 1 ↦ 2, 2 ↦ 4, 3 ↦ 2, 4 ↦ 6. Entscheide, ob eine Funktion vorliegt, und begründe.
Hilfe 1
Wie viele Werte gehören zu jeder Zahl links?
Hilfe 2
Spielt es eine Rolle, dass zwei Zahlen denselben Wert haben?
b) Einer Zahl wird zugeordnet: 1 ↦ 5, 2 ↦ 3, 2 ↦ 7, 3 ↦ 1. Entscheide, ob eine Funktion vorliegt, und begründe.
Hilfe 1
Gehört zu jeder Zahl links genau ein Wert?
c) Jeder Zahl von 1 bis 6 werden ihre Teiler zugeordnet. Entscheide, ob eine Funktion vorliegt, und begründe.
Hilfe 1
Wie viele Teiler hat die Zahl 6?
Lösung zeigen
a) „Funktion oder nicht“: Hat jedes x genau einen Wert?
Es ist eine Funktion: Jeder der vier Zahlen ist genau ein Wert zugeordnet. Dass 1 und 3 beide den Wert 2 haben, ist erlaubt.
b) Gleiche Frage, andere Zuordnung.
Keine Funktion: Der Zahl 2 sind zwei Werte zugeordnet, 3 und 7.
c) „ihre Teiler“ meint alle Teiler, nicht einen.
Keine Funktion: Der Zahl 6 gehören die Werte 1, 2, 3 und 6 zu, also mehr als ein Wert. (Auch bei 4 sind es mehrere.)
2.2Definitionsmenge
a) f(x) = 3x² − 7x + 1
Hilfe 1
Gibt es ein x, das hier nicht erlaubt ist?
b) g(x) = 1x − 5
Hilfe 1
Was darf im Nenner nie stehen?
Hilfe 2
Für welches x wird der Nenner null?
c) h(x) = √(2x + 6)
Hilfe 1
Was darf unter einer Wurzel nicht stehen?
Hilfe 2
Löse die zugehörige Ungleichung.
d) k(x) = x + 1x² − 16
Hilfe 1
Wann ist der Nenner gleich null?
Hilfe 2
Der Zähler spielt für die Definitionsmenge keine Rolle.
Lösung zeigen
a) Ohne Bruch und Wurzel gibt es kein Verbot.
Der Term hat weder Bruch noch Wurzel, also D = ℝ.
b) Bruch: Nenner ungleich null.
Verboten ist x − 5 = 0, also x = 5.
D = ℝ \ {5}
c) Wurzel: Radikand mindestens null.
Gefordert ist 2x + 6 ≥ 0 ⇔ x ≥ −3.
D = [−3; ∞)
d) Bruch: Nenner untersuchen, nicht den Zähler.
Verboten ist x² − 16 = 0 ⇔ x = 4 oder x = −4.
D = ℝ \ {−4; 4}
2.3Wertetabelle und Punkte
a) Gegeben ist f(x) = x² − 2x − 3. Berechne f(x) für x = −1; 0; 1; 2; 3 und gib die Werte als Zeile an.
Hilfe 1
Setze jeden x-Wert in den Term ein. Achte auf das Vorzeichen bei x = −1.
b) Zeige, dass der Punkt P(5 | 12) auf dem Graphen von f liegt.
Hilfe 1
Was muss für einen Punkt (x | y) auf dem Graphen gelten?
c) Prüfe, ob der Punkt Q(−2 | −3) auf dem Graphen von f liegt.
Die Wertemenge W = [1; ∞) enthält 0 nicht. Die Wurzel ist nie negativ, also ist g(x) mindestens 1.
2.5Der kleinste Wert
a) Zeige, dass die Funktion f mit f(x) = x² + 3 für kein x einen Wert kleiner als 3 annimmt.
Hilfe 1
Wie klein kann x² werden?
b) Gib die Wertemenge von f (mit D = ℝ) in Intervallschreibweise an.
Hilfe 1
Wird der kleinste Wert tatsächlich angenommen?
Lösung zeigen
a) „zeigen“: für alle x argumentieren, nicht an Beispielen.
Für jedes x gilt x² ≥ 0, also x² + 3 ≥ 3. Kleinere Werte kommen nicht vor.
b) Eckige Klammer, wenn der Randwert vorkommt.
Der Wert 3 wird bei x = 0 angenommen, nach oben gibt es keine Grenze. W = [3; ∞)
Ohne Taschenrechner
2.6Passende Funktionsgleichung
a) Gib eine Funktionsgleichung an, deren Definitionsmenge ℝ \ {−1; 3} ist.
Hilfe 1
Was bewirkt, dass bestimmte x verboten sind?
Hilfe 2
Welcher Nenner hat genau diese beiden Nullstellen?
b) Gib eine Funktionsgleichung an, deren Definitionsmenge [−2; ∞) ist.
Hilfe 1
Welche Art von Term schließt alle x unterhalb einer Grenze aus?
Lösung zeigen
a) Rückwärts: Aus den Verboten den Nenner bauen.
Zum Beispiel f(x) = 1(x + 1) · (x − 3). Der Nenner ist null für x = −1 und x = 3, sonst nicht.
Jede Gleichung mit genau diesen beiden Verboten ist richtig.
b) Rückwärts: Eine Wurzel mit passendem Radikand.
Zum Beispiel g(x) = √(x + 2). Es gilt x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2.
Jede Gleichung mit dieser Definitionsmenge ist richtig.
2.7Parameter
a) Gegeben ist fa mit fa(x) = √(x − a). Bestimme a so, dass die Definitionsmenge [5; ∞) ist.
Hilfe 1
Von welchem Wert an ist der Radikand nicht mehr negativ?
b) Gegeben ist ga mit ga(x) = 12x − a. Bestimme a so, dass x = 3 nicht zur Definitionsmenge gehört.
Hilfe 1
Was muss im Nenner an der Stelle 3 herauskommen?
Lösung zeigen
a) Parameter aus der Grenze der Definitionsmenge.
Gefordert ist x − a ≥ 0 ⇔ x ≥ a. Die Grenze soll 5 sein, also a = 5.
b) Parameter aus einer verbotenen Stelle.
Der Nenner muss bei x = 3 null werden: 2 · 3 − a = 0 ⇔ a = 6.
2.8Am Graphen
Das Material zeigt den Graphen einer Funktion f für −2 ≤ x ≤ 6.
Material
a) Lies aus dem Material f(0) und f(1) ab.
Hilfe 1
Wo schneidet der Graph die y-Achse? Welcher Punkt gehört zu x = 1?
b) Bestimme anhand des Graphen alle x mit f(x) = 0.
Hilfe 1
Welchen y-Wert haben alle Punkte auf der x-Achse?
c) Gib anhand des Graphen die Wertemenge von f für −2 ≤ x ≤ 6 an.
Hilfe 1
Wo liegt der tiefste, wo der höchste Punkt des Graphen im gezeigten Bereich?
Hilfe 2
Gehören die Ränder des Bereichs dazu?
Lösung zeigen
a) Ablesen: erst senkrecht zum Graphen, dann waagerecht zur y-Achse.
f(0) = −2,5 und f(1) = −4 (Ablesewerte zwischen −2,6 und −2,4 beziehungsweise −4,1 und −3,9 sind in Ordnung).
b) f(x) = 0: Schnittpunkte mit der x-Achse.
x = −1 und x = 5, dort schneidet der Graph die x-Achse (Ablesen mit Spielraum von 0,2).
c) Wertemenge: tiefster und höchster Punkt, auch an den Rändern.
Der tiefste Punkt liegt bei x = 2 mit f(2) = −4,5. Die höchsten Werte liegen an den Rändern: f(−2) = f(6) = 3,5.
W = [−4,5; 3,5] (Ablesewerte bis 0,2 daneben sind in Ordnung).
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Ein Parkhaus berechnet den Preis p(x) in Euro für eine Parkdauer von x Stunden. Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) Wie viel kostet es, 3 Stunden zu parken? (2) Wie lange kann man für 10 € höchstens parken? (3) Welche Parkdauern sind für die Funktion p im Sachzusammenhang sinnvoll?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Ist ein x gegeben und ein y gesucht, oder umgekehrt?
Hilfe 2
Bei (3): Hängt die Antwort vom Term ab oder von der Situation?
b) Ein Regenwassertank enthält zu Beginn 240 Liter. Ein Hahn lässt gleichmäßig 30 Liter je Stunde abfließen, bis der Tank leer ist. Es gilt V(t) = 240 − 30t; dabei ist t die Zeit in Stunden seit Beginn und V(t) die Wassermenge in Litern. Gib die im Sachzusammenhang sinnvolle Definitionsmenge und die Wertemenge von V an. Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist … und … 2. Was nicht dasteht: Die Zeit beginnt bei … und endet, wenn … 3. Rechnen: V(0) = …; V(t) = 0 ⇔ t = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Zu welchem Zeitpunkt beginnt die Beobachtung, wann endet sie?
Hilfe 2
Welchen Wert hat W am Anfang, welchen am Ende?
Hilfe 3
Welche Gleichung gehört zu „der Tank ist leer“?
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Ansätze: Funktionswert, Gleichung, Definitionsmenge aus der Situation.
(1) Gesucht ist der Funktionswert p(3). Ansatz: 3 für x einsetzen.
(2) Gesucht ist die Stelle x mit p(x) = 10. Ansatz: Gleichung p(x) = 10 nach x lösen.
(3) Gesucht ist die Definitionsmenge im Sachzusammenhang. Ansatz: Die Dauer ist nicht negativ, und eine Obergrenze (etwa die Öffnungszeit) kommt aus der Situation; ein Term wird dafür nicht gebraucht.
b) „sinnvoll“ und „Wertemenge“: Die Grenzen kommen aus der Situation, nicht aus dem Term.
1. Gefragt sind die Definitionsmenge D und die Wertemenge W von W im Sachzusammenhang.
2. Die Zeit beginnt bei t = 0 und endet, wenn der Tank leer ist, V(t) = 0.
3. V(0) = 240; 240 − 30t = 0 ⇔ t = 8
4. D = [0; 8] und W = [0; 240]. Die Wassermenge nimmt von 240 Litern auf 0 Liter ab.
5. V(8) = 240 − 240 = 0 und V(0) = 240. Der Tank fließt gleichmäßig leer, alle Werte dazwischen kommen vor. Das passt.
Ohne Taschenrechner
3.2Paketversand
Ein Paketdienst berechnet den Versandpreis nach dem Gewicht in Kilogramm: bis einschließlich 1 kg kostet es 4,50 €, über 1 kg bis einschließlich 5 kg 6,90 €, über 5 kg bis einschließlich 10 kg 9,90 €. Schwerere Pakete nimmt der Dienst nicht an.
a) Begründe, dass die Zuordnung Gewicht ↦ Preis eine Funktion ist.
Hilfe 1
Wie viele Preise gehören zu einem bestimmten Gewicht?
b) Gib die im Sachzusammenhang sinnvolle Definitionsmenge und die Wertemenge an.
Hilfe 1
Was ist das kleinste, was das größte Gewicht, das der Dienst annimmt?
Hilfe 2
Kommen alle Zahlen zwischen 4,50 und 9,90 als Preis vor?
c) Untersuche, ob auch die Zuordnung Preis ↦ Gewicht eine Funktion ist. Begründe mit einem Beispiel.
Hilfe 1
Gibt es zu einem Preis mehrere passende Gewichte?
d) Eine Kundin sagt: „Mein Paket wiegt genau 5 kg, also zahle ich 9,90 €.“ Beurteile ihre Aussage.
Hilfe 1
Zu welcher Stufe gehört der Randwert 5 kg?
Lösung zeigen
a) Funktion heißt: genau ein Wert je x.
Zu jedem zulässigen Gewicht gehört genau eine der drei Stufen, also genau ein Preis. Dass viele Gewichte denselben Preis haben, ist erlaubt.
b) Definitionsmenge: Ränder der Situation. Wertemenge: Einzelwerte, kein Intervall.
Das Gewicht ist größer als 0 und höchstens 10 kg: D = (0; 10].
Es gibt nur drei Preise: W = {4,50; 6,90; 9,90}.
c) Die Umkehrung ist nicht automatisch eine Funktion.
Keine Funktion: Zum Preis 6,90 € gehören zum Beispiel die Gewichte 2 kg und 3 kg, also mehr als ein Wert.
d) Randwerte genau lesen: bis einschließlich, über.
Die Aussage ist falsch. Bis einschließlich 5 kg gilt der Preis 6,90 €. Die Kundin zahlt 6,90 €.
Mit Taschenrechner
3.3Ballwurf
Beim Training wirft ein Spieler einen Ball. Die Höhe des Balls über dem Boden beschreibt h mit h(x) = −0,2x² + 1,6x + 1,2. Dabei ist x die waagerechte Entfernung vom Abwurfpunkt in Metern und h(x) die Höhe in Metern. Das Material zeigt den Graphen von h.
Material
a) Lies aus dem Material die Höhe beim Abwurf und die größte Höhe des Balls ab.
Hilfe 1
Zu welchem x gehört der Abwurf?
Hilfe 2
Wo liegt der höchste Punkt des Graphen?
b) Bestimme, in welcher Entfernung vom Abwurfpunkt der Ball den Boden berührt. Runde auf Zentimeter.
Hilfe 1
Welche Höhe hat der Ball am Boden?
Hilfe 2
Dividiere die Gleichung zuerst durch −0,2.
Hilfe 3
Welche der beiden Lösungen passt zur Situation?
c) Gib die im Sachzusammenhang sinnvolle Definitionsmenge und die Wertemenge von h an.
Hilfe 1
Von wo bis wo fliegt der Ball?
Hilfe 2
Welche Höhen kommen vor?
d) Ein Trainer sagt: „Das Modell zeigt, dass der Ball bei x = 10 gut 2,8 m unter dem Boden ist.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Liegt x = 10 in der Definitionsmenge aus c)?
Hilfe 2
Gilt das Modell außerhalb davon noch?
Lösung zeigen
a) Ablesen: Punkt auf der y-Achse, höchster Punkt.
Beim Abwurf (x = 0): 1,2 m. Größte Höhe: 4,4 m, bei x = 4 (Ablesewerte bis 0,2 daneben sind in Ordnung).
b) „Boden“: Höhe null. Zwei Lösungen, eine passt zur Situation.
x ≈ 8,69 (die Lösung x ≈ −0,69 liegt hinter dem Abwurfpunkt)
Der Ball berührt den Boden nach etwa 8,69 m.
c) Definitions- und Wertemenge aus Bild und Situation.
D = [0; 8,69] (vom Abwurf bis zur Landung); W = [0; 4,4] (vom Boden bis zur größten Höhe).
d) Modellgrenze: Ein Funktionswert außerhalb von D beschreibt die Situation nicht.
h(10) = −20 + 16 + 1,2 = −2,8 stimmt rechnerisch. Aber x = 10 liegt nicht in D = [0; 8,69]: Der Ball ist schon nach 8,69 m am Boden. Das Modell gilt dort nicht, die Aussage ist sinnlos.
3.4Schülerlösungen prüfen
Zwei Lernende haben die Definitionsmenge bestimmt.
a) Für f(x) = √(3 − x) schreibt ein Schüler: „3 − x ≥ 0, also x ≥ 3, also D = [3; ∞).“ Prüfe die Lösung, nenne den Fehler und gib die richtige Definitionsmenge an.
Hilfe 1
Setze eine Zahl nach der Umformung ein: Ist sie in D erlaubt?
Hilfe 2
Was passiert mit dem Zeichen, wenn du durch −1 teilst?
b) Für g(x) = 1x² + 4 schreibt eine Schülerin: „x² + 4 = 0 für x = 2 und x = −2, also D = ℝ \ {−2; 2}.“ Prüfe die Lösung, nenne den Fehler und gib die richtige Definitionsmenge an.
Hilfe 1
Setze x = 2 in den Nenner ein: Wird er null?
Lösung zeigen
a) Fehleranalyse: Probe mit einer Zahl deckt das falsche Zeichen auf.
Der Ansatz 3 − x ≥ 0 stimmt. Beim Umstellen ist das Zeichen falsch: 3 − x ≥ 0 ⇔ 3 ≥ x, also x ≤ 3.
Richtig ist D = (−∞; 3]. Probe: x = 0 ist erlaubt (√3), x = 5 nicht (√(−2)).
b) Fehleranalyse: Die Nennerprobe zeigt, dass kein Verbot besteht.
Es gilt (±2)² + 4 = 8, nicht 0. Die Gleichung x² + 4 = 0 hat keine Lösung, weil x² nie negativ ist.
Der Nenner wird nie null, also D = ℝ.
3.5Stromtarif
Ein Stromanbieter berechnet im Monat 9,40 € Grundpreis und zusätzlich 0,317 € je Kilowattstunde (kWh). K(x) ist der Monatspreis in Euro bei einem Verbrauch von x kWh.
a) Stelle die Funktionsgleichung K(x) auf und erläutere, was die Zahl 9,40 für die Rechnung bedeutet.
Hilfe 1
Was zahlt man, wenn nichts verbraucht wird?
b) Berechne den Monatspreis bei einem Verbrauch von 187 kWh. Runde auf Cent.
Hilfe 1
Setze 187 für x ein. Auf welche Stelle runde?
c) Bestimme, wie viele Kilowattstunden man für einen Monatspreis von 50 € höchstens verbrauchen darf. Runde auf 0,1 kWh.
Hilfe 1
Welche Gleichung gehört zu „der Preis beträgt höchstens 50 €“?
Hilfe 2
Wann ist ein Rundungsergebnis noch zulässig?
d) Ein Mitbewohner sagt: „Wenn ich doppelt so viel Strom verbrauche, zahle ich doppelt so viel.“ Beurteile diese Aussage mit einem Beispiel.
Hilfe 1
Wird der Grundpreis bei doppeltem Verbrauch auch doppelt gezahlt?
Hilfe 2
Vergleiche zwei Verbräuche, von denen einer das Doppelte des anderen ist.
Lösung zeigen
a) Grundpreis: der Preis bei null Verbrauch.
K(x) = 9,40 + 0,317x. Die 9,40 € fallen auch bei x = 0 an, K(0) = 9,40: Man zahlt den Grundpreis, auch ohne Verbrauch.
b) Funktionswert einsetzen, Einheit angeben.
K(187) = 9,40 + 0,317 · 187 = 68,679 ≈ 68,68. Der Monatspreis beträgt etwa 68,68 €.
c) „höchstens“ bei der Rundung: abrunden, nicht kaufmännisch.
9,40 + 0,317x = 50 ⇔ 0,317x = 40,6 ⇔ x ≈ 128,08
Man darf etwa 128,0 kWh verbrauchen. Auf 0,1 kWh gerundet wäre 128,1 kWh schon über 50 €; deshalb wird abgerundet.
d) Beurteilen mit Beispiel: Zahlen einsetzen statt behaupten.
Die Aussage ist falsch, weil der Grundpreis nur einmal anfällt. Beispiel: K(100) = 41,10 und K(200) = 72,80, das ist weniger als 2 · 41,10 = 82,20.
Klausuraufgabe
4.1Leuchtkugel
Eine Leuchtkugel wird vom Deck eines Schiffs senkrecht nach oben abgeschossen und fällt danach ins Wasser. Die Höhe über der Wasserfläche beschreibt im Modell h(t) = −0,5t² + 3t + 12; dabei ist t die Zeit in Sekunden seit dem Abschuss und h(t) die Höhe in Metern. Die Abbildung zeigt den Graphen von h.
Abbildung
a) Bestimme die Höhe des Decks über dem Wasser und die Höhe der Leuchtkugel 2 Sekunden nach dem Abschuss.2 BE
Hilfe 1
Zu welchem t gehört der Start?
Hilfe 2
Setze die Zeit in den Term ein.
b) Bestimme, nach wie vielen Sekunden die Leuchtkugel ins Wasser fällt.3 BE
Hilfe 1
Welche Höhe hat die Leuchtkugel beim Auftreffen auf das Wasser?
Hilfe 2
Welche der beiden Lösungen passt zum Flug der Leuchtkugel?
c) Gib die im Sachzusammenhang sinnvolle Definitionsmenge von h an und begründe die Grenzen.2 BE
Hilfe 1
Welcher Zeitraum ist beschrieben, welcher nicht?
d) Entnimm der Abbildung die größte Höhe der Leuchtkugel und gib damit die Wertemenge von h an.3 BE
Hilfe 1
Wo liegt der höchste Punkt des Graphen?
Hilfe 2
Welche Höhe hat die Leuchtkugel am Ende des Flugs?
e) In der Auswertung steht ohne weitere Erklärung: h(t) = 12 ⇔ t = 0 oder t = 6. Formuliere eine Frage zum Flug, die mit dieser Rechnung beantwortet wird, und deute beide Lösungen. Gib anhand der Abbildung an, in welchem Zeitraum die Leuchtkugel höher als das Deck ist.4 BE
Hilfe 1
Welche Größe ist 12 bei jedem der beiden Zeitpunkte?
Hilfe 2
Welche Höhe hat die Leuchtkugel zwischen den beiden Zeitpunkten, höher oder niedriger als 12 m?
Lösung zeigen
a) Start heißt t = 0.
Deckhöhe: h(0) = 12 m. h(2) = −0,5 · 4 + 6 + 12 = 16, also 16 m nach 2 Sekunden.
b) „ins Wasser fallen“: Höhe null; eine der beiden Lösungen scheidet aus.
Auftreffen auf das Wasser heißt h(t) = 0: −0,5t² + 3t + 12 = 0 ⇔ t² − 6t − 24 = 0 ⇔ t = 3 ± √33
t ≈ 8,74 (die Lösung t ≈ −2,74 liegt vor dem Abschuss). Die Leuchtkugel trifft nach etwa 8,74 Sekunden auf das Wasser.
c) Grenzen aus Abschuss und Auftreffen.
D = [0; 8,74]. Die Zeit beginnt beim Abschuss (t = 0) und endet mit dem Auftreffen auf das Wasser nach etwa 8,74 Sekunden.
d) Wertemenge: höchster und tiefster Wert im Bereich, das Auftreffen auf das Wasser gehört dazu.
Der höchste Punkt des Graphen liegt bei t = 3 und h = 16,5 (Ablesewerte zwischen 16,3 und 16,7 sind in Ordnung). Die tiefste Höhe ist 0 beim Auftreffen auf das Wasser.
W = [0; 16,5]
e) Eine fertige Rechnung deuten: Frage finden, beide Lösungen erklären, am Graphen prüfen.
Frage: Zu welchen Zeiten ist die Leuchtkugel so hoch wie das Deck?
t = 0 ist der Abschuss vom Deck, t = 6 der Zeitpunkt, zu dem die Leuchtkugel wieder auf Deckhöhe ist.
In der Abbildung liegt der Graph zwischen t = 0 und t = 6 über der Höhe 12 m. Die Leuchtkugel ist 6 Sekunden lang höher als das Deck.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum E1-Kurs, in den Abschnitt „Funktionen aus der Mittelstufe“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.